Mesin Menciptakan Matematika Baru Yang Belum Pernah Kami Lihat

Mendorong batasan matematika membutuhkan pikiran yang hebat untuk mengajukan masalah yang menarik. Bagaimana jika mesin bisa melakukannya? Sekarang, para ilmuwan menciptakan yang bisa.

Dugaan yang baik memiliki sesuatu seperti tarikan magnet bagi pikiran seorang ahli matematika. Yang terbaik, dugaan matematika menyatakan sesuatu yang sangat mendalam dengan cara yang sangat tepat dan ringkas, menuntut pembuktian atau pembongkaran.

Tetapi mengajukan dugaan yang baik itu sulit. Itu harus cukup dalam untuk memancing keingintahuan dan penyelidikan, tetapi tidak terlalu kabur sehingga tidak mungkin untuk dilihat sekilas. Banyak dari masalah paling terkenal dalam matematika adalah dugaan, dan bukan solusi, seperti teorema terakhir Fermat.

Sekarang, sekelompok peneliti dari Technion di Israel dan Google di Tel Aviv mempresentasikan sistem dugaan otomatis yang mereka sebut Mesin Ramanujan, dinamai menurut ahli matematika Srinivasa Ramanujan, yang mengembangkan ribuan rumus inovatif dalam teori bilangan dengan hampir tanpa pelatihan formal. Sistem perangkat lunak telah menduga beberapa rumus asli dan penting untuk konstanta universal yang muncul dalam matematika. Pekerjaan itu diterbitkan minggu lalu di Nature.

Salah satu rumus yang dibuat oleh Mesin dapat digunakan untuk menghitung nilai konstanta universal yang disebut bilangan Catalan dengan lebih efisien daripada rumus yang ditemukan manusia sebelumnya. Tetapi Mesin Ramanujan dibayangkan tidak akan mengambil alih matematika, melainkan menyediakan semacam garis makan bagi para ahli matematika yang ada.

Seperti yang dijelaskan para peneliti di makalah, seluruh disiplin matematika dapat dipecah menjadi dua proses, secara kasar: menduga sesuatu dan membuktikan sesuatu. Mengingat lebih banyak dugaan, ada lebih banyak biji-bijian untuk penggilingan pikiran matematika, lebih banyak lagi untuk dibuktikan dan dijelaskan oleh ahli matematika.

Itu tidak berarti bahwa sistem mereka tidak ambisius. Seperti yang dikatakan para peneliti, Mesin Ramanujan "mencoba untuk menggantikan intuisi matematis dari ahli matematika hebat dan memberikan petunjuk untuk penelitian matematika lebih lanjut."

Namun, sistem para peneliti bukanlah mesin matematika universal. Sebaliknya, ia menebak rumus tentang cara menghitung nilai bilangan tertentu yang disebut konstanta universal. Konstanta yang paling terkenal, pi, memberikan rasio antara keliling dan diameter lingkaran. Pi dapat disebut universal karena muncul di semua matematika, dan konstan karena mempertahankan nilai yang sama untuk setiap lingkaran, tidak peduli ukurannya.

Secara khusus, sistem peneliti menghasilkan dugaan untuk nilai konstanta universal (seperti pi), yang ditulis dalam rumus elegan yang disebut pecahan lanjutan. Pecahan lanjutan pada dasarnya adalah pecahan, tetapi lebih memusingkan. Penyebut pecahan lanjutan mencakup penjumlahan dua suku, yang kedua merupakan pecahan, yang penyebutnya sendiri mengandung pecahan, dan seterusnya, hingga tak terhingga.

Pecahan lanjutan telah lama memaksa ahli matematika dengan kombinasi khas kesederhanaan dan kedalamannya, dengan nilai total pecahan sering kali sama dengan konstanta penting. Selain menjadi "menarik secara intrinsik" untuk estetika mereka, mereka juga berguna untuk menentukan sifat dasar konstanta, seperti yang ditulis oleh Robert Doughtery-Bliss dan Doron Zeilberger dari Universitas Rutgers dalam pracetak tahun 2020.

Mesin Ramanujan dibangun dari dua algoritma utama. Ini menemukan ekspresi pecahan lanjutan yang, dengan tingkat keyakinan tinggi, tampaknya sama dengan konstanta universal. Keyakinan itu penting, karena jika tidak, dugaan akan mudah dibuang dan memberikan sedikit nilai.

IKLAN

Setiap dugaan mengambil bentuk persamaan. Idenya adalah bahwa kuantitas di sisi kiri tanda sama dengan, rumus yang melibatkan konstanta universal, harus sama dengan kuantitas di sebelah kanan, pecahan lanjutan.

Untuk sampai ke dugaan ini, algoritme mengambil konstanta universal arbitrer untuk sisi kiri dan pecahan lanjutan arbitrer untuk sisi kanan, dan kemudian menghitung setiap sisi secara terpisah ke presisi tertentu. Jika kedua sisi tampak sejajar, kuantitas dihitung dengan presisi yang lebih tinggi untuk memastikan kesejajarannya bukan kebetulan karena ketidaktepatan. Secara kritis, rumus sudah ada untuk menghitung nilai konstanta universal seperti pi ke presisi yang sewenang-wenang, sehingga satu-satunya kendala untuk memverifikasi kecocokan sisi adalah menghitung waktu.

Sebelum algoritma seperti ini, matematikawan harus menggunakan pengetahuan dan teorema matematika yang ada untuk membuat dugaan seperti itu. Tetapi dengan dugaan otomatis, ahli matematika mungkin dapat menggunakannya untuk merekayasa balik teorema tersembunyi atau hasil yang lebih elegan, seperti yang telah ditunjukkan Doughtery-Bliss dan Zeilberger.

Namun penemuan paling menonjol dari para peneliti sejauh ini bukanlah pengetahuan tersembunyi, tetapi adugaan baru tentang kepentingan yang mengejutkan. Dugaan ini memungkinkan untuk penghitungan konstanta Catalan, konstanta universal khusus yang nilainya diperlukan untuk banyak masalah matematika.

Ekspresi pecahan lanjutan dari dugaan yang baru ditemukan memungkinkan untuk penghitungan paling cepat dari konstanta Catalan, mengalahkan rumus sebelumnya, yang membutuhkan waktu lebih lama untuk dijalankan melalui komputer. Ini tampaknya menandai titik kemajuan baru untuk komputasi, seperti pertama kali komputer mengalahkan master catur; tapi kali ini, dalam permainan membuat dugaan.